Информационный портал Пируса Е.М. (математика, информатика)

Поиск в каталоге Refer.Ru:
Регистрация или вход Главная | Анкета | Рекомендовать | Обратная связь | В избранное | Сделать домашней
Статистика портала

Рейтинг@Mail.ru

Рейтинг сайтов YandeG
Яндекс цитирования
bigmir)net TOP 100
Модули портала
ГлавнаяГлавная
Галерея Галерея
Интернет РадиоИнтернет Радио
Лучшие статьи Лучшие статьи
НовостиНовости
Обратная связьОбратная связь
ОпросыОпросы
Поиск на порталеПоиск на портале
Порекомендовать Порекомендовать
ФайлыФайлы
ЧаВоЧаВо
Шутки, анекдотыШутки, анекдоты

Теорема Кантора доказана по-новому
Научные новости
Основываясь на придуманной им математической игре, американский специалист обнаружил новое доказательство теоремы Георга Кантора о несчётности множества всех действительных чисел.

Важнейшим открытием немецкого математика Георга Кантора было то, что бесконечные множества различаются в количественном отношении. Это различие он показал в том числе для множеств действительных и натуральных чисел.

Согласно предложенной им в 1874 г. теореме, множество всех действительных чисел является несчётным, то есть оно не эквивалентно бесконечному ряду натуральных чисел (его элементы нельзя последовательно и однозначно пронумеровать натуральными числами 1, 2, 3 и т.д.).

Свое доказательство Кантор построил от противного, предположив наличие счётности пронумерованного списка всех действительных чисел a1, a2, a3 и т.д., находящихся в интервале от 0 до 1. Эти числа он представил в виде бесконечных десятичных дробей (рациональным числам для этого пришлось добавить бесконечное число нулей начиная с определенного знака после запятой).

Затем Кантор предложил составить еще одну бесконечную десятичную дробь, у которой первый знак после запятой отличается от первого знака после запятой a1, второй знак отличается от второго знака a2 и так далее до бесконечности.

Полученная дробь не совпадает ни с одной десятичной дробью an, поскольку на n-й позиции у нее и an стоят разные цифры. Из этого следует, что полученная дробь не входит в нумерованный список чисел, а значит этот список не является счётным.

Недавно наш современник Мэтью Бейкер (Matthew Baker) из Технологического института Джорджии в Атланте предложил новое доказательство того, что множество действительных чисел несчётно. Его статья с решением опубликована в издании Mathematics Magazine.

Бейкер придумал математическую игру, заключающуюся в том, что вымышленные персонажи Алиса и Боб поочередно выбирают действительные числа из интервала от 0 до 1. Числа Боба обозначаются В, Алисы - А.

Сначала Боб выбирает любое число больше последнего А и меньше 1, а Алиса - меньше последнего В и больше 0. Затем они выбирают числа, которые находятся в интервале между двумя последними числами, выбранными игроками.

По ходу игры числа Алисы и числа Боба становятся все более близки по значению. Числа Алисы бесконечно приближаются к определенному числу α, которое больше, чем все А и меньше, чем все В. Если это число лежит в указанном промежутке (0-1), выигрывает Алиса, если нет - то Боб. Интуитивно понятно, что в этой игре всегда выигрывает Алиса.


Мэтью Бейкер доказывает теорему Кантора от противного. Если бы множество действительных чисел в промежутке 0-1 было счётным, то победителем был бы Боб.

Исследователь предложил стратегию, при которой Боб гарантированно выигрывает в данных условиях. Следуя ей, Бобу нужно пронумеровать элементы исследуемого множества натуральными числами: S1, S2, S3 и т.д., и не допускать, чтобы эти числа принимали значение α.

Во время своего первого хода Боб оценивает S1. Если S1 меньше, чем A1, то его нельзя выбрать по правилам игры; по этим же правилам оно гарантировано не будет α.

Тогда Боб просто выбирает любое другое число согласно правилам. Если S1 больше, чем A1, то Боб может выбрать S1, и опять быть в безопасности, так как числа Алисы должны быть меньше последнего В. Делая эти итерации бесконечно, Боб всегда выигрывает.

Однако поскольку очевидно, что игру все-таки выигрывает Алиса, Мэтью Бейкер делает вывод, что исследованное множество действительных чисел является несчётным.

Предложенный американским математиком подход демонстрирует, как можно продуктивно применять совместно две разные области математики - теорию множеств и теорию игр.
Разместил: pirusyatko | Дата: 03.03.2008
[ Напечатать статью | Отправить другу ]
Рейтинг статьи

Средняя оценка: Средняя оценка: 0Всего голосов:0

Отлично
Хорошо Нормально Пойдёт Плохо


User Info


Добро пожаловать,
Guest

Регистрация или входРегистрация или вход
Потеряли пароль?Потеряли пароль?

Логин:
Пароль:

Сейчас онлайн
ПользователейПользователей: 0
ГостейГостей: 5
ВсегоВсего: 5
WebSite-Uptime
uptime
Главная | Статьи | Форум | Темы | Галерея | Вопросы и ответы | Учебники | Рекомендовать | Обратная связь
Спасибо администрации портала. Copyright © 2006-2009